Как объяснить "очевидные" свойства и понятия?
Предлагаю в этой теме обсуждать практическое обоснование свойств, формул и понятий, используемых в математике, и вводимых в 5-6 классах (а то и раньше).
Просто лично мне ужасно не нравится, когда свойство, которое мы пока не можем строго доказать, вводится по принципу "Так надо". Например, почему мы должны поменять знак числа, когда переносим его в другую часть уравнения? Почему мы должны перемножить числители и знменатели, чтобы перемножить дроби? Увы, многие учебники не дают разумных примеров, которые иллюстрируют данные вопросы. Тем не менее, уверен, у каждого из здесь присутствующих есть свои "фишки", с помощью которых они решают данную проблему. Поэтому предлагаю здесь коллекционировать подобные методы, идеи, примеры.
Для затравки: вот пара моих (сразу оговорюсь: наверняка, не только я использую эти идеи, так что на авторство не претендую, а лишь делюсь).
1) Насчет переноса из одной части в другую. Что такое уравнение? Представим двухчашечные весы, на левой чашке которых стоит левая часть, а на правой - правая. Раз стоит знак равенство, значит весы в равновесии. Предположим, мы хотим перенести слагаемое (для определенности, 5) слева направо. Значит, слева мы 5 "снимаем". Но тогда, чтобы весы остались в равновесии, мы должны ровно столько же "снять" и справа, так что для сохранения равенства из правой части мы вычитаем 5. Отсюда и берется смена знака при переносе.
2) Почему, когда упрощается выражение, скажем, 2х + 3 + 3х + 2 нужно складывать иксы с иксами, а числа с числами? Все просто! Предположим, скоро приходят гости, а на стол нужно поставить конфеты и бутерброды. Разумеется, мы положим бутерброды с бутербродами (на одно блюдо), а конфеты с конфетами - на другое. Так же и с упрощением выражений: иксы мы группируем с иксами, а числа - с числами.
3) Как найти площадь круга чисто практически? Для длины окружности все более-менее ясно: померяли ниточкой, вычислили длину ниточки. А что с площадью? Да, можно приближать прямоугольниками или правильными многоугольниками, но... Одна моя ученица предложила такой способ: возьмем круглую формочку и засыпем туда песок доверху. После чего подберем прямоугольную формочку той же высоты, чтобы песок полностью ее заполнил (для этого может понадобиться, как она сказала, устройство, которое может регулировать длину и ширину прямоугольной формочки, чтобы мы могли заполнить как можно точнее). Площадь полученного прямоугольника и равна площади круга.
Из того, что я не знаю, но хотел бы узнать, как "естественно" объяснить. Где в повседневной жизни может встретиться НОК? Да, я понимаю, что если, например, я пробегаю круг за 4 мин, а моя жена за 5 мин, то чтобы узнать, когда я ее обгоню на круг, нужен НОК. Примерно то же самое можно адаптировать к движению планет. Но это все как-то... Не знаю, не очень естественно. Может, у вас есть другие примеры?
Буду рад вашим ответам, примерам, а заодно и тому, для каких тем вы НЕ знаете разумных примеров - уверен, вместе мы подберем!
- Войдите на сайт для отправки комментариев
Комментарии
Очень важную тему Вы подняли - о смысле того, что мы делаем. В школе все стремятся поскорее "пройти и забыть" именно то, что непонятно. Да что там, многие педагоги не всегда знают смысл того, что предлагают освоить учащимся.
Для меня так навсегда и осталось загадкой, что же такое логарифм и для чего мне в жизни пригодится. А синус с косинусом? Дети просто мучаются от того, что не могут сопоставить получаемую информацию с практической жизнью. И как важно и благородно - избавить их от мучений :))
Всем добрый вечер! Тема действительно важная и интересная. "Пройти и забыть" относится не только к отдельной теме, но и к целым предметам. В школах страшный дефицит преподавателей технологии (мальчики) и ОБЖ, поэтому всё чаще эти предметы ведут, мягко говоря, недостаточно компетентные люди. Дети действительно мучаются от этих предметов, но это система. Скажите зачем в 11 классе ОБЖ в таком количестве, что за смысл в предмете Технология-если основное занятие трудовая деятельность (различные хоз. и рем. работы)? В школы сейчас по модернизации пришло много различного оборудование, но курсы повышения квалификации идут по старинке. Естественно ничему нужному они не научат и вернувшись педагог опять предложит метлу. Уважаемое МЧС-где школьные прогаммы, фильмы, методический материал сегодняшнего и завтрашнего дня, до каких пор мы будем из интернетовских фотографий лепить убогие презентации. Нам нужны инженеры, экологи, а кто в школе их готовит? Понятно мы не изменим систему, но нас с каждым днём всё больше-давайте подумаем что бы в рамках дозволенного (программ) достичь большего. Не слишком ли мы увлеклись проектами, а почему в лагерях нет инженерной секции? Почему по итогам смены нет конкурса мастерства по токарному, столярному делу. Бизнес это хорошо, но чем круче проект тем грамотнее должны быть исполнители. Я знаю массу очень интересных и перспективных проектов (технических) которые умерли потому, что не нашлось (среди школьников) хороших исполнителей (токарей, столяров,электромонтажников и т.д.). Пишите, рассказывайте-может я не прав и у остальных всё не так. Я не хочу сказать, что всё так плохо-лично сам пытаюсь проводить и конкурсы и соревнования, на территорию только по личному распоряжению директора, но этого мало, мелко, а значит особого эфекта не даст. Спасибо!
Валерий Юрьевич! Вы подняли очень важную и нужную тему, значение которой выходит далеко за рамки данной лаборатории, которая все же посвящена проблемам математики. Давайте перенесем обсуждение в форум. Мы создали там специальную тему от вашего имени, назвав ее "Как не пройти и не забыть? С чего начинается инженерное образование?" Думается, что к нашему обсуждению подключатся не только математики, но и другие учителя
Егор, про логарифм попробую объяснить.
По определению, логарифм (для простоты возьмем основание десятичный) - это та степень, в которую надо возвести число 10, чтобы получить данное число. Так, десятичный логарифм от ста равен двум (т.к. 10^2 = 100), от тысячи - трем, от 10 - единице. От двадцати (равно как и от любого другого числа) он тоже существует, хотя мы не можем сходу его посчитать: значение можно взять из специальной таблицы. Зачем он нужен? Сначала немного истории.
Вот представьте себе, что Вам надо перемножить два десятизначных числа (это, кстати, действительно бывает нужно, когда надо точно перевести большую сумму в одной валюте в другую). Век на дворе, предположим, 19-й, так что никаких калькуляторов нет, да и сейчас, собственно, 10-значные числа мало куда поместятся. Сложно? Пожалуй. А если бы числа пришлось сложить - гораздо проще, не правда ли? Так вот логарифмы как раз позволяют заменить умножение и деление более простыми сложением и вычитанием.
Правда, чтобы этим воспользоваться, нужно знать свойства логарифмов + иметь специальные логарифмические таблицы, которые переводят исходные числа в логарифмы и обратно. А дальше алгоритм умножения будет прост:
1) Даны числа х и у. Требуется найти их произведение (частное),
2) По таблице найдем их логарифмы,
3) Сложим (вычтем) их,
4) Результат переведем обратно из логарифма в число по все той же таблице.
Понятно, что сейчас мало кто так делает. Так что это уже история. Но именно так математики считали почти 400 лет!
А зачем же логарифм сейчас? Я программист по образованию, поэтому могу привести такой пример. Когда Вы делаете, например, сортировку массива, то есть такое понятие, как "сложность алгоритма", т.е. сколько в среднем операций понадобится для массива из n элементов, чтобы его отсортировать. Так вот, для наиболее быстрых сортировок quicksort и heapsort, эта сложность как раз имеет порядок логарифма по основанию 2 от n.
Почти таким же будет ответ, если взять задачу о нахождении максимального элемента в массиве - тоже логарифм по основанию 2!
Или еще вопрос: сколько бит требуется для хранения числа, состоящего из N знаков, в памяти компьютера? 1 + log_2 (N)! Действительно, если выбрать k бит для хранения числа, то каждый из них может принимать два значения (0 и 1), значит, если для каждого бита 2 варианта, то для k бит - 2^k вариантов. Таким образом, чтобы нам хватило места, выражение 2^k должно быть больше, чем N, а решение данного неравенства как раз и приводит нас к логарифму по основанию 2!
Также логарифмы применяются в физике, экономике, биологии, географии (многие живые организмы и природные явления хорошо опиываются логарифмической спиралью) и даже в музыке, при построении октав.
Так что знайте и любите логарифмы!
Спасибо, Георгий Игоревич!
Хотя я вряд ли воспользуюсь обретённым знанием, но с логарифмами у меня прояснилось.
Еще,думаю, известный пример с логарифмами-формула Стерджеса для выделения оптимального количества интервалов(k=1+3,322lg N,N-количество измерений),полезная при обратке стат. данных.
У меня вот сейчас очень серезная "беда" - тригонометрия.Моя специальность по диплому"Динамика полета", поэтому примеры применения из области "космической романтики"(различные системы координат,переходы между ними, движения небесных тел и т.п.),теории колебания, физики,я конечно знаю и показываю,но все равно у детей остается недосказанность по поводу "синусов-косинусов",и зачем им нужна куча формул, и уметь решать триг уравнения.
У всех-превсех школьников есть масса вопросов по темам тригонометрии. Попытка насытить эту тему практическим смыслом, так, чтобы отвлечённые понятия обрели жизнь, - это, я считаю, очень важная и достойная задача для преподавателя математики в школе. И прекрасная тема для работы в нашей лаборатории.
Я прошу Вас, Пётр, высказать свои соображения: как Вы пытаетесь прояснить эту тему школьникам. Что получается, что не получается?
Про перемножение обыкновенных дробей есть хорошее объяснение в учебнике Барановой: если мы ищем площадь прямоугольника со сторонами 2/3 и 3/5, то мы берем квадрат со стороной 1, одну сторону режем на 3 части, а другую --- на 5 частей. Всего 15 частей получается. Теперь сам прямоугольник --- у него одна сторона --- 2 кусочка, а другая --- 3 кусочка, всего 6 кусочков. Поэтому и выходит 6/15.
Про НОК я однажды использовала такую идею: в соревновании участвуют три команды: в одной 4 человека, в другой 6, в третьей --- 8.
Мы должны им предложить какой-то приз, причем заранее его показать, чтобы было, за что соревноваться. В качестве приза выбраны шоколадки. Сколько шоколадок должно быть, чтобы вне зависимости от победителя, победившая команда смогла поровну разделить приз между собой?
Или старая задача про столбы: раньше провода были непрочные, и столбы ставили через каждые 8 метров. А теперь провода стали лучше, и расстояние между столбами можно увеличить до 12 метров. Получается, некоторые столбы придется выкопать, кое-где вкопать новые. А некоторые можно не трогать! Так вот сколько столбов удастся оставить на месте при таком раскладе? (можно там дать длину участка 1000, заодно потом еще и остаток посчитают)
А вот по поводу приведения подобных слагаемых я не согласна. У меня возникают такие вопросы:
1) почему там где иксы -- там иксы, а около остальных чисел --- ничего? Вот пять у нас иксов, а три --- чего? К тому же, в разговорной речи часто говорим: было два яблока, добавили еще три. Мы фактически говорим 2х+3. То есть, либо надо акцентировать внимание на том, что просто числа показывают количество единиц, либо не пользоваться таким способом.
2) почему нельзя положить будерброды и конфеты на одно блюдо? Яблоки с грушами мы запросто умеем складывать: 2 яблока плюс 3 груши будет 5 фруктов.
Я все-таки за то, чтобы громко вещать про распределительный закон умножения, в той же новой Барановой, не сочтите за рекламу, есть даже отдельные задания вида "заполните пропуски:" (2+_+4)*х=_*х+5х+_*х.
Извините,что долго не отвечал,но тригонометрия и ее последствия реально просто засасывают.
Честно говоря,порой проблема лежит не в плоскости того,что не понимают,а скорее в плоскости того,что банально не хотят учить, или в силу возрастных особенностей хотят потратить время на что-нибудь более привлекательное (компьютерные игры, общению через интернет, новые фишки для телефона,погулять,поиграть в футбол-волейбол(что в принципе неплохо, но делу время,потехе-час) и т.п.),или просто из-за того,что много задают делают лишь те предметы,которые два-три урока в неделю и по ним плохие оценки чреваты проблемами,в отличие от математики которой 5 часов алгебры и 3 часа геометрии.
Чтобы как-то показать важность тригонометрии давал простое задание довольно-таки:найти явления,в мат модели которых участвуют тригонометрические функции, или алгебраические задачи,которые решаются помощью тригонометрических замен. В принципе большинство справились,но не у многих прибавилось понимания,что тригонометрические функции нужны и важны. Но самое забавное,что я специально пометил,чтобы геометрические применение синусов,косинусов и тангенсов мне не нужно,все равно встречались подобные работы.
Вообще,основная проблема в обучении тригонометрии,в моем по-крайней мере случае,это формулы. При том, что основных формул по моему мнению две (синус суммы,косинус суммы),а остальные можно из них вывести,причем довольно быстро,плюс основное три тождество , большинство учеников думает,что их штук 30 и заучивают каждую,образуется каша в голове, и они выдают такие перлы,что при разборе таких решений им самим становиться смешно как это так вышло.Осазнание того,что сумма допустим косинусов это не косинус суммы приходит далеко не сразу.
Научить видеть за частным выражением какие-то общие формулы очень тяжело. Даже если сравнить прошлогодних 10-классников с нынешними,могу сказать,что не смотря на то,что в прошлом году у меня было меньше "звезд",но зато у остальной части уровень был явно повыше и мотивация повыше,и даже если они и пользовались шпаргалками,то они хотя бы понимали,где какая формула им нужна.В этом же году "звезд"явно больше раза в два, но уровень умений остальных либо явно ниже,либо уровень лени явно выше. И для таких и никаких доп занятий не достаточно,,чтобы что-то у них осталось в голове,а если еще проблемы и по другим предметам,то вообще замучаешься с ними.
А работа с учебником:дай бог они его полистают,чтобы найти какую-то формулу,но чтобы посмотреть примеры,разобрать их самим, связать их с теорией,котоая изложена в параграфе,это просто нереально. А тех,кто обращается к другим учебникам,которые я в электронном виде скидываю всем ученикам,вообще единицы. И это при том,что я еще в начале года сказал,что я использую наш учебник скорее какнекий ориентир,подспорье, нежели как основной источник.
Ну вот как-то так.
Перлы насчет пределов функций от учеников (думаю вы такое слышали):
"Представьте,что вам 9 лет врали,что на ноль делить нельзя".
"Наконец-то можно делать то,что нельзя было в тригонометрии!!!"(про следствие первого замечательного предела: отношение синусов)
Уважаемый Георгий, абсолютно согласна с Вами и коллегами, что тема вопроса актуальна. Однако хочу обратить Ваше внимание на более осторожное использование "чашечных весов", может более строго продумать весь алгоритм перемещения. Я постаралась представить весь процесс согласно Вашему алгоритму, так у меня вообще получилось, что я должна снять со второй чаши двойную порцию (ведь я перемещаю на нее с первой, а потом должна уравновесить: фактически добавила еще 5, а потом вычла 10). Может вместо слова "переместить" сразу использовать слово "Убрать с чаши весов" и "Добавить на весы" и , тогда и появляются противоположные знаки: Лишнее на чаше - убрать, не достающее - добавить. А вообще-то все сведется к правилу как найти неизвестное слагаемое или уменьшаемое или вычитаемое или компоненты при умножении или делении
Приветствую всех!
Друзья! Иногда складывается впечатление, что пытаясь объяснить простые вещи, мы настолько все усложняем, что бедные дети шарахаться от нас начинают. Ну например, если моему "рабоче-крестьянскому" классу при обяснении логарифмов сказать что-нибудь наподобии: "...формула Стерджеса для выделения оптимального количества интервалов(k=1+3,322lg N,N-количество измерений),полезная при обратке стат. данных.", мне кажется, легче и понятнее им от этого не станет!
Тема очень важная - показать практическое обоснование ( я так понимаю, это такой пример из жизни, из опыта ученика, который поможет ему провести аналогию и понять тему? )! Только давайте стараться искать понятные объяснения.
1. При приведении подобных слагаемых перехожу на единицы измерения.
Например: 2х + 3у+8х+39у - 2 см + 3кг+8 см+ 39 кг. Сложив см с кг мы получаем бессмыслицу ... и т. д.
2. При сложении и вычитании положительных и отрицательных дробей очень много работаем с понятиями "получил- потратил", "долг, кредит" и т.д. Например:
а) 5-7: было 5 тысяч, купил плеер за 7 тысяч, сколько составляет твой бюджет? Может такое быть? Да, если взять 2 тысячи у кого-нибудь в долг. Долг означает "-" значит твой бюджет составляет (- 2) тысячи рублей.
б) -3+7: был долг 3 тысячи, заработал 7 тысяч рублей, 3 тысячи вернул, в бюджете осталось 4 тысячи.
Когда ребята поймут суть - переходим к правилам, подробно разбирая их и проводя аналогии с бюджетом.
3. Обясняя задачи с параметрами, показываю, что одна задача включает в себя множество подобных задач (2ах-5=0: включает в себя 4х-5=0, 3х-5=0, 0*х-5=0 и т.д.). То есть решить задачу с параметром - это решить группу задач "оптом", учитывая все особенности.
Если для всех так актуальна тригонометрия, предлагаю поискать и собрать все возможные объяснения данной темы и применение (только стараться искать понятные школьнику). И всем вместе обсудить. Глядишь, "докопаемся" до истины!
На дня выложу то, что найду.
Кто со мной?)))
Умоляю, не объясняйте однородность в мат. выражении через физические размерности. Что дети потом будут делать на уроках физики?!! Пожалейте вашего коллегу-физика!
Общий ход мысли - "приземлить" математические понятия и формулы, на мой взгляд, в корне порочен.
1. Как вариант, можно откинуть всё спорное и вернуться к учебникам Киселёва.
2. В любом случае, надо идти не на поводу у обыветаля, а учить классике.
Математика - это наука (НАУКА) о том как посчитать. Для этого надо абстрагироваться от конкретных предметов и ввести числа, операции с ними. Как только мы это сделали, внимание(!), эти абстракции начинают жить собственной жизнью. Чтобы понять эту жизнь, математика её исследует и выводит закономерности. Понятно, что всё усложняется по мере продвижения, появляются как новые операции, так и новые числа, отрицательные, дроби (рациональные), вещественные (рациональные + иррациональные), комплексные, кватернионы ....
Детям объясняйте, что кем бы они не были, как много денег у них не было, они никогда не смогут управлять, если не будут знать хотя бы, как составлять и решать дифференциальные уравнения. А вообще-то давно пора в школе обучать абстрактной алгебре. Математика в перспективе должна стать международным языком общения.
Те кто это знает, запускает космические аппараты, создаёт автоматические станки и много чего ещё, в дальнейшем будет управлять полностью всей жизнью, включая жизнь неучей.
Из неучей слепят матрицу и подведут питание по трубкам. Причём без насилия, а по требованию самих неучей! Если хотят такого будущего, пусть и дальше требуют "понятных" разжёванных объяснений, не желая напрячь немного моск.
Страх - одно из действенных оружий учителя! :)